Nablaoperatorn

Nablaoperatorn är en differentialoperator, betecknad med symbolen ∇, som används inom vektoranalysen. Symbolen är ett kortare och bekvämare tecken för den vektorlika operatorn (i tre dimensioner med kartesiska koordinater):

<math>\left(\cfrac{\partial}{\partial x}, \cfrac{\partial}{\partial y}, \cfrac{\partial}{\partial z}\right)</math>

Symbolen introducerades av William Rowan Hamilton. Namnet nabla kommer från ett hebreiskt stränginstrument med liknande form.

Operatorn kan appliceras på skalärfält (φ) eller vektorfält (F = (F_x, F_y, F_z)), för att ge

Gradienten ∇φ, även kallat grad φ

<math>\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)</math>

Divergensen ∇⋅F, även kallat div F

<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

Rotationen ∇×F, även kallat rot F

<math>\nabla \times \mathbf{F} = \left\vert\begin{matrix}e_x & e_y & e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z\end{matrix}\right\vert = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)</math>

Om man kombinerar gradient och divergens får man Laplaceoperatorn, vilken betecknas med nablaoperatorn i kvadrat, ∇² alternativt Δ:

<math>\Delta \phi = \nabla^2 \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>

Samt för vektorfält:

<math>\Delta \mathbf{F} = \nabla^2 \mathbf{F} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) </math>

Räkneregler

Genom att tolka nablaoperatorn som en vektor och använda räkneregler för vektorprodukter går det att visa att

<math>\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}</math>

<math>\nabla \times \nabla = \mathbf{0}</math>

Produktregler

<math>\begin{align}

\nabla (fg) &= f\nabla g + g\nabla f \\ \nabla(\vec u \cdot \vec v) &= \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u) + ( \vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla )\vec u \\ \nabla \cdot (f \vec v) &= f (\nabla \cdot \vec v) + \vec v \cdot (\nabla f) \\ \nabla \cdot (\vec u \times \vec v) &= \vec v \cdot (\nabla \times \vec u) - \vec u \cdot (\nabla \times \vec v ) \\ \nabla \times (f \vec v) &= (\nabla f) \times \vec v + f (\nabla \times \vec v) \\ \nabla \times (\vec u \times \vec v) &= \vec u \, (\nabla \cdot \vec v) - \vec v \, (\nabla \cdot \vec u) + (\vec v \cdot \nabla) \, \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \, \vec v \end{align}</math>

Se även