Konjugatregeln

Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om <math>a</math> och <math>b</math> är två tal är

<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).\,</math>

Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten <math>a</math> och <math>b</math> måste då kommutera.

Exempel

Huvudräkning

Det kan vara enklast att beräkna

<math>93 \times 107</math>

enligt

<math>100^2 - 7^2 = 10000 - 49 = 9951</math>

Partiella differentialekvationer

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension kan lösas genom att först skriva om enligt

<math>\partial_{xx} \phi - \frac{1}{c^2} \partial_{tt} \phi = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \biggl( \partial_x + \frac{1}{c} \partial_t \biggr) \biggl( \partial_x - \frac{1}{c} \partial_t \biggr) \phi = 0</math>

Genom insättning kan följande enkelt verifieras:

<math>\partial_x \phi - \frac{1}{c} \partial_t \phi = 0 \quad \Rightarrow \quad \phi(x,t) = f(x+ct)</math>

Nollproduktmetoden och superpositionsprincipen kan nu användas för att få lösningen

<math>\phi(x,t) = f(x+ct) + g(x-ct)</math>

Laplaces ekvation i två rumsdimensioner

På samma sätt som i föregående exempel fås

<math>\partial_{xx} \phi + \partial_{yy} \phi = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \bigl( \partial_x + i \partial_y \bigr) \bigl( \partial_x - i \partial_y \bigr) \phi = 0</math>

med lösning

<math>\phi(x,y) = f(x+iy) + g(x-iy)</math>

Notis om schrödingerekvationen

Man kan tänka sig att schrödingerekvationen

<math>i \hbar \partial_t \phi = \mathcal{H} \phi </math>

utgör den första av "faktorerna" i uppdelningen

<math>\hbar^2 \partial_{tt} \phi = - \mathcal{H}^2 \phi \quad \Leftrightarrow \quad \bigl( \mathcal{H} - i \hbar \partial_t \bigr) \bigl( \mathcal{H} + i \hbar \partial_t \bigr) \phi = 0</math>

Allmänna konjugatregeln

Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:

<math>a^n-b^n = (a-b)\cdot\left(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k} \, b^{k}\right), \quad n = 1,2,3,\dots.</math>

Exempel

<math>a^5 - b^5 = (a - b)\cdot(a^4 \, b^0 + a^3 \, b^1 + a^2\,b^2 + a^1\,b^3 + a^0\,b^4)</math>

Tillämpning inom talteori

Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen <math>a^n - b^n\,</math> bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen <math>a^n - (a-1)^n.\,</math> Speciellt ger valet <math>a = 2</math> det som kallas mersennetal:

<math>2^n - 1</math>

För vissa värden på det positiva heltalet <math>n</math> är <math>2^n - 1\,</math> ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet

<math>1+2+2^2+2^3+\cdots + 2^{n-1}</math>

vara ett primtal enligt konjugatregeln.

Bevis av den allmänna konjugatregeln

Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:

• Först visas att regeln är sann då n = 1
• Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
• Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
• Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.

För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet

<math>a^1-b^1 = (a-b) \cdot \left(\sum_{k=0}^{1-1}a^{1-1-k} \, b^k\right) = (a-b) \cdot (a^0 \, b^0) = a-b</math>

vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.

Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:

<math>a^N - b^N = (a-b)\cdot\left(\sum_{k=0}^{N-1}a^{N-1-k} \, b^{k}\right)</math>

Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att

<math>a^{N+1} - b^{N+1} = (a-b)\cdot\left(\sum_{k=0}^{N}a^{N-k} \, b^{k}\right)</math>

Differensen <math>a^{N+1} - b^{N+1}</math> skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen

<math>a^N - b^N;</math>

<math>a^{N+1} - b^{N+1} = a^{N} a - a^N b + a^N b - b^{N} b.\,</math>

De termer slås samman som innehåller faktorn <math>a^N</math> och även de termer som innehåller faktorn b:

<math>a^{N+1}-b^{N+1} = a^{N}\,(a-b) + (a^N-b^N) \, b.</math>

Sedan ersätts differensen <math>a^N - b^N</math> med det uttryck som antagits vara sant:

<math>a^{N+1}-b^{N+1} = a^N\,(a-b) + b \cdot (a-b)\cdot\left(\sum_{k=0}^{N-1}a^{N-1-k} \, b^{k}\right)</math>

Därefter bryts den gemensamma faktorn <math>(a-b)\,</math> ut och återstoden skrivs ut i detalj:

<math>a^{N+1}-b^{N+1} = (a-b) \cdot

\left(a^N + b \cdot \left(a^{N-1} + a^{N-2}b + \cdots + a b^{N-2} + b^{N-1}\right)\right).</math> Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är

<math>a^{N+1}-b^{N+1} = (a-b) \cdot

\left(a^N + a^{N-1} b + a^{N-2}b^2 + \cdots + a b^{N-1} + b^{N}\right).</math> Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att

<math>a^{N+1}-b^{N+1} = (a-b) \cdot

\left(\sum_{k=0}^N a^{N-k} \, b^k\right).</math>

Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.

Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.

Se även

• Konjugat (Algebra)
• Kvadreringsreglerna