Cartesisk produkt

Cartesisk produkt <math> A \times B</math> av seten <math>A=\{x,y,z\}</math> och <math>B=\{1,2,3\}</math>

Den cartesiska eller kartesiska produkten eller mängdprodukten av två mängder <math>A</math> och <math>B</math> är mängden av alla ordnade par <math>(a, b)</math> vars första element <math>a</math> tillhör <math>A</math> och vars andra element <math>b</math> tillhör <math>B</math>. Produkten av <math>A</math> och <math>B</math> skrivs A × B, så definitionen kan sammanfattas

<math>A \times B = \{ (a,b) : a \in A \land b \in B\}</math>.

Mängdprodukten kallas "cartesisk" efter Renatus Cartesius, den latinska översättningen av René Descartes. Descartes införde nämligen de så kallade kartesiska koordinaterna, som i sin tur har inspirerat den mängdteoretiska definitionen. Om P är en punkt i ett plan med ett koordinatsystem, så kan P entydigt beskrivas med hjälp av sin "x-koordinat" och sin "y-koordinat". Punkten kan alltså representeras av ett ordnat par (a,b) av reella tal, där a och b är x-koordinaten respektive y-koordinaten. Mot varje punkt i planet svarar precis ett sådant par, och tvärtom. Mängden av alla möjliga sådana par av kartesiska koordinater för punkter i planet är just det som nu för tiden kallas den cartesiska produkten R × R eller R².

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (M_i)_i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

<math>\prod_{i\in I} M_i = \{ (x_i)_{i\in I} : x_i \in M_i \hbox{ för } i\in I\}</math>.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

<math>\prod_{i=1}^n M_i = M_1 \times \ldots \times M_n = \{ (x_1,\ldots,x_n) : x_i \in M_i \hbox{ för } i = 1,\ldots,n \}</math>.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A², A × A × A skrivs också A³, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, <math>\mathbb{R}^2</math> eller R².

Exempel:

{1, 3, π} × {2, 17} = {(1, 2), (1, 17), (3, 2), (3, 17), (π, 2), (π, 17)}

Projektioner på koordinater

Man kan tolka den kartesiska "x-koordinaten" för en punkt P i planet som ett tal som beskriver den vinkelräta projektionen av punkten på x-axeln. Denna geometriska idé har generaliserats till allmänna cartesiska produkter. För en produkt över en indexmängd I och ett element i i I definierar man projektionen på den i:te koordinaten som funktionen

<math>\pi_i : \prod_{i\in I} M_i \rightarrow M_i \hbox { given av } \pi_i \bigl( (x_i)_{i\in I} \bigr) = x_i</math>.

Denna projektion "plockar ut" den koordinat som hade indexet i. I exemplet ovan är π₂((3,17)) = 17. Projektioner betecknas också på många andra sätt än just med bokstaven π med index.

Det finns alltså en projektion för varje index, så att man för en cartesisk produkt över en indexmängd I får en hel familj (π_i)_i∈I av projektioner, över samma indexmängd.

Tolkning som direkta produkter

Den cartesiska produkten Π_I M_i av en familj (M_i)_I = (M_i)_i∈I av mängder har tillsammans med motsvarande familj (π_i)_I = (π_i)_i∈I en viss abstrakt kategoriteoretisk universell egenskap, som beskrivs nedan, i kategorin av mängder. Objekt och familjer av morfismer med denna egenskap kallas på kategoriteoretiskt språk för direkta produkter. Därför är cartesiska produkter direkta produkter i kategorin av mängder (med vanliga mängdteoretiska funktioner som morfismer).

Mängden Π_I M_i och funktionsfamiljen (π_i)_I har följande universella egenskap: För varje mängd N och familj (f_i)_I av funktioner, där f_i går från N till M_i för varje index i, så finns en och endast en funktion g:N→Π_I M_i, sådan att det för varje index i gäller att π_i = f_iog. Det visar sig att detta unika g ges av att

<math>g(x) = \bigl( f_i(x) \bigr)_{i \in I} \hbox{ för varje } x \in N</math>.

I många konkreta kategorier bildas direkta produkter som cartesiska produkter som "ärver" sina strukturer från faktorerna, och projektionerna är desamma som för vanliga mängdprodukter. Om till exempel V och W är två linjära rum, så kan den direkta produkten av dem beskrivas som den kartesiska produkten V &times:&W med komponentvisa operationer, vilket betyder att

<math>(\mathbf v,\mathbf w) + (\mathbf {v'},\mathbf {w'}) = (\mathbf v+\mathbf {v'},\mathbf w+\mathbf {w'}) \hbox{ och } a(\mathbf v,\mathbf w) = (a\mathbf v, a\mathbf w)</math>,

för alla vektorer v och v'' i V, w och w' i W, och skalärer a.

Cartesisk produkt av funktioner

Om f är en funktion från A till B och g är en funktion från X till Y, så definieras deras cartesiska produkt f×g som den funktion från A×X till B×Y som uppfyller

<math>(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))</math>

Precis som för mängder kan detta utvidgas till godtyckliga familjer av funktioner.

Se även

Externa länkar

Cartesian Product at ProvenMath (på engelska)
En bra förklaring