Stirlings formel

Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Den används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝10²³, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1</math>

vilket ofta uttrycks som

<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}</math>

(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 10³² medan det verkliga värdet är 2,6525 · 10³².

Formeln kan även uttryckas som

<math>\ln n! = n\ln n - n +\frac{1}{2} \ln n + \frac{1}{2} \ln (2\pi) + O\left(\frac{1}{n}\right), </math>

eller om n >> ln n,

<math>\ln n! \approx n\ln n -n.</math>

Konsekvenser

Genom att använda Stirlings formel kan man visa att

<math>n^n \ge n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^\frac{n}{2}.</math>

Konvergenshastighet och feluppskattningar

Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln

<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1 + \Theta\left(\frac{1}{n}\right)\right)</math>

där Θ(1/n) betecknar en funktion vars asymptotiska beteende för n→∞ motsvarar en konstant multiplicerad med 1/n; se Ordo.

Eller mer exakt:

<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}</math>

där

Härledning

Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form

<math>\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right).</math>

(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral: <math>\ln (n!) = \sum_{p = 1}^{n}\ln p \rightarrow \int_{1}^{n} \ln p\, dp = n\ln n -n + 1</math>.)

Historia

Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen

<math>n!\sim [{\rm konstant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}.</math>

Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är <math>\sqrt{2\pi}</math>.

Se även

Referenser

Torbjörn Tambour (2003). ”Stirlings formel”. Arkiverad från originalet den 6 augusti 2004. https://web.archive.org/web/20040806035636/http://www2.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Stirling.pdf.

Externa länkar

Fil:Commons-logo.svg Wikimedia Commons har media som rör Stirlings formel.
Bilder & media