Hoppa till innehållet

Sigmafunktionen

Lägg till länkar
Från Plutten

Sigmafunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion som definieras som summan av <math>m</math>:te potensen av alla delare till ett positivt heltal <math display="inline">n</math>:

<math>\sigma_m(n) = \sum_{d|n}d^m</math>

Sigmafunktionen är multiplikativ (men inte komplett multiplikativ) och kan därmed beräknas utifrån primfaktoriseringen av <math display="inline">n</math> som

<math>\sigma_m(p_1^{a_1}...p_r^{a_r}) = \prod_{i=1}^r \frac{p_i^{m(a_i+1)} - 1}{p_i^m-1}</math>

Genererande funktioner

[redigera | redigera wikitext]

Dirichletserier innehållande sigmafunktionen är

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a),</math>

som för <math display="inline">a=0</math> blir

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s),</math>

och

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s}= \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} </math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.</math>

En Lambertserie är

<math>\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}.</math>

Identiteter för sigmafunktionen

[redigera | redigera wikitext]
<math>

\sigma_3(n) = \frac{1}{5}\left\{6n\sigma_1(n)-\sigma_1(n) + 12\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_1(n-k)\right\}.\; </math>

<math>

\sigma_5(n) = \frac{1}{21}\left\{10(3n-1)\sigma_3(n)+\sigma_1(n) + 240\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_3(n-k)\right\}.\; </math>

<math>

\begin{align} \sigma_7(n) &=\frac{1}{20}\left\{21(2n-1)\sigma_5(n)-\sigma_1(n) + 504\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_5(n-k)\right\}\\ &=\sigma_3(n) + 120\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_3(n-k). \end{align} </math>

<math>

\begin{align} \sigma_9(n) &= \frac{1}{11}\left\{10(3n-2)\sigma_7(n)+\sigma_1(n) + 480\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_7(n-k)\right\}\\ &= \frac{1}{11}\left\{21\sigma_5(n)-10\sigma_3(n) + 5040\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_5(n-k)\right\}.\; \end{align} </math>

<math>

\tau(n) = \frac{65}{756}\sigma_{11}(n) + \frac{691}{756}\sigma_{5}(n) - \frac{691}{3}\sum_{0<k<n}\sigma_5(k)\sigma_5(n-k),\; </math>     där <math display="inline">\tau (n)</math> är Ramanujans taufunktion.

<math>

\sum_{\delta|n}d^{\;3}(\delta) = \left(\sum_{\delta|n}d(\delta)\right)^2 \; </math>

<math>d(uv) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\mu(\delta)d\left(\frac{u}{\delta}\right)d\left(\frac{v}{\delta}\right) \;

</math>

<math>\sigma_k(u)\sigma_k(v) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\delta^k\sigma_k\left(\frac{uv}{\delta^2}\right) \;

</math>

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

Mall:Delbarhetsklasser


de:Teilersumme hu:Osztóösszeg-függvény pl:Funkcja σ

Hämtad från ”https://wiki.viberq.org/w/index.php?title=Sigmafunktionen&oldid=33407”