Modus tollens

Mall:Slutledningsregler Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:

<math>\frac{P \to Q, \neg Q}{\therefore \neg P}</math>

vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.

Från premissena P→Q och <math>\neg</math>Q kan således slutsatsen <math>\neg</math>P dras.

Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med <math>\neg</math>B och slutledningsregeln modus ponens ger <math>\neg</math>A.

Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".

Formellt kan regeln även skrivas:

<math>P\to Q, \neg Q \vdash \neg P</math>, där <math>\vdash</math> betyder satslogisk konsekvens.

Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:

Inom predikatlogik finns följande formulering:

<math>

\begin{array}{ccc} & \forall x: & P(x) \rightarrow Q(x) \\ & \exists x: & \neg Q(x) \\ \therefore & \exists x: & \neg P(x) \end{array} </math> Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.

I mängdlära kan det uttryckas som:

<math>

\begin{array}{cc} & P \subseteq Q \\ & x \notin Q \\ \therefore & x \notin P \end{array} </math> det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.

Källor

Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.

Mall:Logiska begrepp