Lorentztransformation
Lorentztransformationen är en uppsättning ekvationer inom relativitetsteorin som anger hur tids- och rumskoordinater mäts i olika inertialsystem. Dessa ekvationer används för att transformera dessa storheter mellan olika inertialsystem. En storhet som inte ändras av en Lorentztransformation sägs vara Lorentzinvariant.
Relativitetsteorin postulerar att ljusets hastighet är densamma i alla referenssystem, vilket är ett tillräckligt antagande för att härleda Lorentztransformationen.
Historik
[redigera | redigera wikitext]Lorentztransformationen är uppkallad efter Hendrik Lorentz, som tillkännagav sina slutsatser 1904 utan att känna till att Woldemar Voigt redan 1887 hade publicerat kring detta. Voigts arbete blev inte uppmärksammat förrän långt senare, vilket Ernst & Hsu (2001) menar försenade insikterna som ledde fram till den speciella relativitetsteorin.[1] Voigttransformationens sätt att nalkas problemen har också erkänts av såväl Hermann Minkowski som Lorentz själv.
Matematisk formulering
[redigera | redigera wikitext]
Lorentztransformationen relaterar rumtidskoordinaterna i två olika inertialsystem <math>S</math> och <math>S'</math>, som rör sig i förhållande till varandra. Antag att <math>S'</math> rör sig med hastigheten <math>v</math> längs <math>x</math>-axeln och att en händelse äger rum vid tiden <math>t</math> och koordinaterna <math>(x, y, z)</math> i systemet <math>S</math> och vid <math>t'</math> och <math>(x', y', z')</math> i systemet <math>S'</math>. Då ges <math>t'</math> och <math>(x', y', z')</math> enligt Lorentztransformationen av[2]
- <math>t' = \gamma \cdot \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)</math>
- <math>x' = \gamma \cdot (x - v t) </math>
- <math>y' = y </math>
- <math>z' = z </math>
där <math>c</math> är ljushastigheten i vakuum och
- <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
är Lorentzfaktorn, som alltid är större eller lika med 1.
Koordinaterna i <math>S</math> fås genom att inse att <math>S</math> håller hastigheten <math>-v</math> relativt <math>x'</math>-axeln i inertialsystemet <math>S'</math>.
- <math>t = \gamma \cdot \left(t' + \frac{v x'}{c^{2}} \right)</math>
- <math>x = \gamma \cdot (x' + v t') </math>
- <math>y = y' </math>
- <math>z = z' </math>
Hastighetstransformation
[redigera | redigera wikitext]Hastigheten i inertialsystemet S definieras som <math>\mathbf{u}=\frac{d\mathbf{r}}{dt} </math> och hastigheten i inertialsystemet S' definieras som <math>\mathbf{u'}=\frac{d\mathbf{r'}}{dt'} </math>.
Hastighetskomponenten i <math>x'</math>-led kan relateras till koordinaterna i S enligt
- <math>u_x' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{dx'/dt}{dt'/dt} = \frac{d\left[\bcancel\gamma\left(x-vt\right)\right]/dt}{d\left[\bcancel\gamma\left(t-vx/c^2\right)\right]/dt} = \frac{u_x-v}{1-vu_x/c^2}.</math>
Resterande komponenter fås analogt och är
- <math>u'_y = \frac{u_y}{\gamma\left(1-vu_x/c^2\right)}, \qquad u'_z = \frac{u_z}{\gamma\left(1-vu_x/c^2\right)}.</math>
Hastighetskomponenterna <math>u_x </math>, <math>u_y </math> och <math>u_z </math> i S erhålls, precis som för lägeskoordinaterna, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför <math>v </math>.
Hastighetstransformationerna kan användas för att addera hastigheter. En partikel håller hastigheten <math>v </math> i <math>x</math>-led relativt ett inertialsystem S och en annan partikel håller hastigheten <math>u'</math> i <math>x</math>-led relativt den första partikeln. Då kan det inertialsystem där partikeln med hastighet <math>v</math> är i vila användas för att ta fram den andra partikelns hastighet relativt S enligt
<math>u = \frac{\left(u'+v\right)}{\left(1+vu'/c^2\right)},</math>
alltså den inversa hastighetsadditionen i <math>x</math>-led. Om <math>v=u'=c</math> erhålls
<math>u = \frac{\left(c+c\right)}{\left(1+c^2/c^2\right)} = \frac{2c}{2}=c,</math>
alltså kan den andra partikeln inte nå en högre hastighet än <math>c</math> relativt S.
Accelerationstransformation
[redigera | redigera wikitext]Accelerationen i inertialsystemet S definieras som <math>\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} </math> och accelerationen i inertialsystemet S' definieras som <math>\mathbf{a'}=\frac{d\mathbf{u'}}{dt'}=\frac{d^2\mathbf{r'}}{dt'^2} </math>. <math>a'_x</math> härleds med enligt
- <math>a'_x = \frac{d u'_x}{d t'} = \frac{d \left[\frac{u_x-v}{1-v u_x/c^2}\right]/d t}{d \left[\gamma(t-vx/c^2)\right]/d t} = \frac{\frac{a_x(1-u_x v/c^2) - (u_x-v)(-a_x v/c^2)}{\left(1- v u_x/c^2\right)^2}}{\gamma(1-v u_x/c^2)} = \frac{a_x (1-v^2/c^2)}{\gamma(1-v u_x/c^2)^3} = \frac{a_x}{\gamma^3\left(1-vu_x/c^2\right)^3}.</math>
Vid deriveringen av <math>u'_x</math>används kvotregeln. Övriga komponenter fås på motsvarande vis.
- <math>a'_y = \frac{a_y}{\gamma^2(1-vu_x/c^2)^2}+\frac{a_x u_y v/c^2}{\gamma^2(1-vu_x/c^2)^3}</math>
- <math>a'_z = \frac{a_z}{\gamma^2(1-vu_x/c^2)^2}+\frac{a_x u_z v/c^2}{\gamma^2(1-vu_x/c^2)^3}</math>
Accelerationskomponenterna <math>a_x </math>, <math>a_y </math> och <math>a_z </math> i S erhålls, även här, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför <math>v </math>.
Konsekvenser från Lorentztransformationen
[redigera | redigera wikitext]Speciella relativitetsteorins postulat om konstant ljushastighet och avsaknad av absoluta referensramar har flera konsekvenser som intuitivt kan uppfattas som bisarra.
Samtidighet
[redigera | redigera wikitext]Två händelser som tycks ske samtidigt (men på olika platser) ur en observatörs synpunkt, kan uppfattas ske vid olika tidpunkter och i godtycklig ordning av andra observatörer som är i rörelse relativt den första observatören.
Tidsdilatation
[redigera | redigera wikitext]Tidsskillnaden mellan två händelser är inte något objektivt, utan beror på observatörers rörelse i förhållande till varandra. En observatör O mäter tiden till att gå snabbare med en faktor <math>\gamma</math> i sitt eget inertialsystem, jämfört med vad O mäter tiden till att gå för en observatör O' som rör sig med en hastighet <math>v</math> relativt O. Om O mäter ett tidsintevall i inertialsystemet där O' är stationär till att vara <math>\Delta t_0</math>, mäter O tidsintervallet i sitt eget inertialsystem till att vara
- <math>\Delta t = \gamma \Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>.
Det omvända gäller också, alltså ser O' det som att dess tid gårsnabbare med en faktor <math>\gamma</math> vad tiden går för O. Detta har gett upphov till tvillingparadoxen, där misstaget begås att blanda ihop inertialsystem med referenssystem.
Tidsdilatationen har observerats experimentellt, till exempel hos myoner i kosmisk strålning som har för kort livslängd för att kunna nå jordytan om inte tidsdilatationen existerade.
Längdkontraktion
[redigera | redigera wikitext]Ett föremåls observerade storlek beror på observatörens relativa hastighet. Om en stav med längd L rör sig med hastighet en <math>v</math> relativt en observatör, kommer staven att uppfattas som kortare i dess färdriktning med en faktor <math>\gamma</math> enligt observatören. Om staven har längden <math>L_0</math> i vila är stavens längd enligt observatören
- <math>L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1-v^2/c^2}</math>.
Dessa fenomen uppfattas inte vid vardagliga hastigheter utan blir väsentliga först vid hastigheter av ungefär 10% av ljusets hastighet i vakuum. Ekvationerna ger till exempel att ett föremål som färdas i 90% av ljusets hastighet är endast 44% av sin längd i rörelseriktningen, jämfört med när föremålet är i vila.
Klassisk fysik: Relativ rörelse mellan partiklar och vågfronter
[redigera | redigera wikitext]
En situation då Lorentzfaktorn uppstår naturligt är vid relativ rörelse mellan partiklar och vågfronter i ett homogent medium såsom stillastående luft.
Om vi lite motsägelsefullt säger att partiklarna varken interagerar med varandra eller med mediet (förutom att de kan sända ut vågfronter i det) så kommer de att röra sig med konstant hastighet, se figur.
Antag att partikel 2 vid tiden <math display="inline">t+t_0</math> detekterar en sfärisk vågfront som skapats av partikel 1 vid tiden <math display="inline">t</math>. Hur långt är avståndet <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> mellan partikel 2 och vågens centrum? Notera skillnaden mot det relativa avståndet <math display="inline">R_{12}</math> (som till skillnad från <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> är avståndet mellan partiklarna).
Mediet är homogent och vågor i det rör sig med den konstanta farten <math display="inline">c</math> så att sfäriska vågor endast ändrar radie och amplitud, inte form. Det antas även att den sfäriska vågen inte "ärver" något av hastigheten hos partikel 1 som sände ut den (om man släpper en sten i vattnet från en båt som rör sig så följer ju inte centrum hos ringarna på vattenytan efter båten med samma hastighet). Mediet (förutom de små störningarna på grund av vågorna) antas vidare överallt vara stillastående i förhållande till vårt absoluta koordinatsystem. Det finns inte heller några hinder i vägen, så vågfronten kan ta (och tar) kortaste vägen. Sambandet mellan tiden <math display="inline">t_0</math> och avståndet <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> blir därför <math display="inline">t_0 = \breve{R}_{12}(t)/c</math>. Avståndet <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> och vektorn <math>\breve{\boldsymbol{R}}_{12}(t)</math> tillhörande detta avstånd uppfyller ekvationen
<math>\breve{\boldsymbol{R}}_{12}(t) = \boldsymbol{r}_2\{t+\breve{R}_{12}(t)/c\} - \boldsymbol{r}_1(t)</math>
I detta specialfall med rätlinjig partikelrörelse kan ett explicit uttryck för <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> härledas. Ur
<math>\begin{array}{lcl} \boldsymbol{r}_1(t) & = & \boldsymbol{r}_1(0) + \boldsymbol{v}_1 t \\ \boldsymbol{r}_2 \{ t + \breve{R}_{12} (t) /c \} & = & \boldsymbol{r}_2(0) + \boldsymbol{v}_2 \{ t + \breve{R}_{12} (t) /c \} \\ \end{array}</math>
fås genom insättning att
<math>\breve{\boldsymbol{R}}_{12}(t) = \boldsymbol{R}_{12}(t) + \tfrac{\boldsymbol{v}_2}{c} \breve{R}_{12}(t)</math>
Kvadrerade absolutbeloppet blir
<math>\breve{R}^2_{12}(t) = R^2_{12}(t) + 2 \boldsymbol{R}_{12}(t) \cdot \tfrac{\boldsymbol{v}_2}{c} \breve{R}_{12}(t) + \tfrac{v_2^2}{c^2} \breve{R}^2_{12}(t) </math>
Resultatet blir en andragradsekvation i <math display="inline">q(t) = \breve{R}_{12}(t) / R_{12}(t)</math>:
<math>\Bigl\{ 1 - \tfrac{v_2^2}{c^2} \Bigr\} q^2(t) - 2 \tfrac{\boldsymbol{R}_{12}(t)}{R_{12}(t)} \cdot \tfrac{\boldsymbol{v}_2}{c} q(t) - 1 = 0 </math>
Ett exempel
[redigera | redigera wikitext]I specialfallet då skalärprodukten i föregående ekvation är noll (dvs då partikel 1 har samma hastighetskomponent i partikel 2:s riktning som partikel 2, se figur) fås
<math>q = \frac{\breve{R}_{12}}{R_{12}} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \tfrac{v_2^2}{c^2} } } </math>
dvs samma uttryck som för Lorentz-faktorn men med den relativa farten ersatt med den absoluta farten hos mottagarpartikel 2. Avståndet <math display="inline">\breve{R}_{12}</math> mellan partikel 2 och vågens centrum blir alltså längre än avståndet <math display="inline">R_{12}</math> mellan partiklarna då partikel 1 rör sig relativt mediet. Om farten <math>v_2</math> överskrider utbredningsfarten <math>c</math> kommer vågfronten från partikel 1 aldrig att kunna komma förbi partikel 2 oavsett hur nära varandra de befinner sig, vilket visar sig genom att <math>q</math> blir imaginär eller oändlig i den matematiska modellen.
Lorentztransformationen i kulturen
[redigera | redigera wikitext]Lorentztransformationen illustreras i romanen Orbitsville av Bob Shaw.
Se även
[redigera | redigera wikitext]Referenser
[redigera | redigera wikitext]Noter
[redigera | redigera wikitext]- ↑ Ernst, Andreas (Juni 2001). ”First Proposal of the Universal Speed of Light by Voigt in 1887” (pdf). Chinese Journal of Physics. Arkiverad från originalet den 16 juli 2011. https://web.archive.org/web/20110716083015/http://psroc.phys.ntu.edu.tw/cjp/v39/211.pdf.
- ↑ Nordling, C. & Österman, J. (2006). Physics Handbook for Science and Engineering. (sid. 179). Lund: Studentlitteratur.
Externa länkar
[redigera | redigera wikitext]- Fil:Commons-logo.svg Wikimedia Commons har media som rör Lorentztransformation.
