Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering innebär att skriva om ett andragradspolynom (polynom av grad 2) av formen

<math>x^2 + px + q\qquad (1)</math>

till formen

<math>\left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\qquad (2)</math>.

Med hjälp av kvadreringsregeln <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math> kan (2) utvecklas, vilket visar att (2) är ekvivalent med (1):

<math>\left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\ = </math>

<math>x^2 + 2 \cdot \frac{px}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = x^2 + px + q</math>.

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Exempel

För att hitta de två lösningarna till ekvationen

kan kvadratkomplettering användas:

<math> x^2 + 32x - 33 = \left( x + \frac{32}{2} \right)^2 - \left( \frac{32}{2} \right)^2 - 33 = \left( x + 16 \right)^2 - 289</math>

Sätt ovanstående lika med noll och lös

<math>\left(x + 16 \right)^2 - 289 = 0\quad\Rightarrow</math>

<math>\left(x + 16 \right)^2 = 289\quad\Rightarrow</math>

<math>x + 16 = \pm 17\quad\Rightarrow</math>

<math>x = - 16 \pm 17\quad\Rightarrow</math>

<math>x = 1 ~~ \mathrm{eller} ~~ x = -33</math>

Med kvadratkomplettering går det att lokalisera andragradspolynoms minsta värden:

<math>x^2 + px + q = \underbrace{\left(x + \frac{p}{2} \right)^2}_{\geq 0} + \left(q - \left(\frac{p}{2}\right)^2\right)\geq q - \left(\frac{p}{2}\right)^2</math>

Olikheten visar att det minsta värdet

<math>q - \left(\frac{p}{2}\right)^2</math>

antas då

<math>x = -\frac{p}{2}</math>.

Se även

ja:二次方程式#平方完成