Kontraktionsavbildning
| Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-02) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.
Definition
[redigera | redigera wikitext]En avbildning <math>f:X\rightarrow X</math> kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet <math>X</math> med metriken <math>d</math>, om för alla <math>x, y \in X</math>,
- <math>d(f(x), f(y)) \leq k\cdot d(x,y)</math>
för en reell konstant <math>0 < k < 1 </math>.
Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, <math>(X, d_X)</math> och <math>(Y, d_Y)</math>, som en avbildning <math> f:X \to Y </math> där det finns ett k, <math> 0 < k < 1 </math>, så att för alla <math> x_1, x_2 </math> i X:
- <math>d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq k d_X(x_1, x_2)</math>
Egenskaper
[redigera | redigera wikitext]Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.
En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt <math>x_f</math> som är invariant under avbildning <math>f(x_f) = x_f</math>. Givet en avbildning <math>f</math>, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten <math>x_f</math> representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" <math>X</math>, finns det en avbildning <math>f(x)</math> som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.