Klot

Fil:Blue-sphere.png

Klot

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln

<math>V={4\pi r^3\over 3}</math>

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Mantelytan är

<math>A={4\pi r^2}</math>

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

<math> f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, x \in [-r, r]</math>

Motsvarande rotationskropp har volymen

<math>\int_{-r}^{r}\pi(r^2-x^2) dx</math>

Termerna separeras

<math>\int_{-r}^{r}\pi r^2 dx - \int_{-r}^{r}\pi x^2 dx</math>

och de primitiva funktionerna blir

<math>\pi r^2\left[ x \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}</math>

Insättning av r och −r ger

<math>\pi (r^3-(-r^3)) - \pi \left(\frac{r^3}{3} - \left(-\frac{r^3}{3}\right)\right) = \frac{4}{3} \pi r^3</math>

Klot i analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 \le r^2</math>

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.