Kedjeregeln

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning  f Mall:Large g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt

<math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'</math>

Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f Mall:Large g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas

<math>F'(x) = f'(g(x))\,g'(x)</math>

Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

<math>\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}</math>

Funktioner av en variabel

Om

<math>y=f(u)</math> och <math>u=g(x)</math>, så att <math>y=f(g(x))</math>,

anger kedjeregeln att

<math>{d \over dx}\,f(g(x)) = f^\prime(g(x))\,g^\prime(x),</math>

där <math>g'(x)</math> kallas f:s inre derivata.

Med Leibniz notation skrivs detta

<math>{dy \over dx} = {dy \over dg} {dg \over dx},</math>

då <math>\frac{dg}{dx}</math> är den inre derivatan.

Funktioner av flera variabler

Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

<math>y=f(\mathbf{u}(x))</math> och <math>\mathbf{u}(x) = (u_1(x), ..., u_n(x))</math>

så är

<math>\frac{dy}{dx}= \frac{\partial f}{\partial u_1}\frac{du_1}{dx} + ... + \frac{\partial f}{\partial u_n}\frac{du_n}{dx}</math>.

Eftersom gradienten

<math>\nabla f = \left ( \frac{\partial f}{\partial u_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial u_n} \right)</math>

och derivatan av den inre funktionen u är

<math>\mathbf{u}'(x) = \left ( \frac{du_1}{dx}, ..., \frac{du_n}{dx} \right )</math>

inser vi att derivatan <math>\frac{dy}{dx}</math> kan skrivas som en skalärprodukt enligt

<math>\frac{dy}{dx} = \nabla f \cdot \mathbf{u}'</math>.