Invers funktion

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen <math>f^{-1}: Y\to X</math> till en funktion <math>f</math> är sådan att <math>f^{-1}(f(x)) = x</math> för alla <math>x\in X</math> och <math>f(f^{-1}(y))=y</math> för alla <math>y \in Y</math>.

En funktion f har en invers funktion om och endast om f är bijektiv.

Inverterbar funktion

En funktion <math>f\,</math> är inverterbar om och endast om den är bijektiv, det vill säga

<math>f(x_1) = f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1 = x_2\ </math> för alla <math> x_1,x_2</math> i funktionens definitionsmängd – funktionsvärdena i två punkter ur funktionens definitionsmängd, kan endast vara desamma om punkterna också är desamma (injektivitet).
Det finns något <math>x</math> sådant att <math>f(x)=y</math> för alla <math>y</math> i målmängden till <math>f</math> – funktionens värdemängd är densamma som dess målmängd (surjektivitet).

En funktion som inte är surjektiv kan göras surjektiv genom att begränsa målmängden till värdemängden.

Exempel

Funktionerna <math>f(x)=2x\,</math> och <math>f^{-1}(x)=\frac{x}{2}</math> är varandras inverser.

Exponentialfunktionen <math> x \mapsto a^x </math> med basen a > 0 och de positiva reella talen som målmängd är invers till logaritmfunktionen

<math> y \mapsto \log_a y, \quad y>0 </math>.

Se även

Källor

R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2