Absolutbelopp

Fil:Diagram.svg

Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal

Fil:AbsoluteValueDiagram.svg

Ett tals absolutvärde kan tolkas som talets avstånd till origo

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

<math>|x|=\left\{\begin{matrix}

x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{matrix}\right.</math>

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av

<math>|z| = \sqrt{zz^*}= \sqrt{a^2 + b^2}</math>

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

<math>|\mathbf{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}</math>

Den vanliga benämningen är dock vektorns norm och betecknas <math>||\mathbf{\bar{v}}||</math>.

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att

1. <math>|a|\geq 0 </math>
2. <math>|a|=0 \Leftrightarrow a=0</math>
3. <math>|ab|=|a||b|\,</math>
4. <math>\left|\frac{a}{b} \right|=\frac{|a|}{|b|}</math>
5. <math>|a+b| \leq |a|+|b|</math> (triangelolikheten)
6. <math>|a-b|\geq ||a|-|b||</math> (omvända triangelolikheten)
7. <math>|a|=\sqrt{aa^*}</math>, där a^* är det komplexkonjugerade värdet av a

Om a och b är reella gäller även

8. <math>|a|\leq b \Leftrightarrow -b\leq a \leq b, b\geq 0</math>

Anledningen till att man använder begreppet norm för vektorer är att multiplikationsregeln gäller ett reellt tal <math>a</math> och en vektor <math>\mathbf{\bar{v}}</math>:

• <math>||a \cdot \mathbf{\bar{v}}||=|a| \cdot ||\mathbf{\bar{v}}|| </math>

Exempel

<math>\ |5| = 5</math>

<math>\ |-5\,| = 5</math>

<math>\ |\,1 + \mathrm{i}\,| = \sqrt{2}</math>

Se även

• Norm (matematik)

Referenser

Källor

• Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok. Wahlström & Widstrand 

Externa länkar

• Fil:Commons-logo.svg Wikimedia Commons har media som rör Absolutbelopp.
  Bilder & media