Liouvilles lambda-funktion
Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin.
Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som:
- λ(n) = (-1)Ω(n),
där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet.
λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet:
- <math>
\sum_{d|n}\lambda(d) = \begin{cases} 1 & \text{om }n\text{ n är en kvadrat} \\ 0 & \text{annars.} \end{cases} </math>
Genererande funktioner
[redigera | redigera wikitext]Dirichletserien vars koeficcienter är λ(n) ges av
- <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}</math>
där ζ(s) är Riemanns zetafunktion.
Lambertserien vars koeficcienter är λ(n) ges av
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} =
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)</math>
där <math>\vartheta_3(q)</math> är Jacobis thetafunktion.