Fermatprimtal
Fermatprimtal, uppkallade efter Pierre de Fermat, som först studerade dem, är primtal som kan skrivas på formen:
- <math> F_{n} = 2^{2^n} + 1 </math>
där n är ett naturligt tal. Det finns endast fem kända Fermatprimtal: 3, 5, 17, 257 och 65537, vilka fås då n är 0, 1, 2, 3 respektive 4. Det är inte känt om det finns oändligt många Fermatprimtal.
Carl Friedrich Gauss bevisade att det finns ett förhållande mellan konstruktionen av regelbundna månghörningar och Fermatprimtal: en regelbunden n-polygon kan konstrueras med passare och linjal om och endast om n är en potens av 2 eller produkten av en potens av 2 och olika Fermatprimtal.
Fermat förmodade att alla Fermattal var primtal, men Leonhard Euler visade 1732 att <math> F_{5} </math> inte är ett primtal.
- <math> F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4~294~967~297 = 641 \cdot 6~700~417. </math>
Det har senare visats att inga av de följande fermattalen Fn upp till och med <math>n = 32</math> är primtal.
Referenser
[redigera | redigera wikitext]- Fermat prime på Mathworld.
- Fermat prime på Britannica Online.
- Fermat number på PrimePages.