Legendrepolynom

Fil:Legendre poly.svg

De första fem legendrepolynomerna

Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. De har även kallats klotfunktioner. Det l:te Legendrepolynomet P_l kan fås genom Taylorutvecklingen:

<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xy+y^2}} = \sum_{l = 0}^{\infty}P_l(x)y^l, ~~ (|x| \le 1, y < 1).</math>

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

<math>\frac{d}{dx} \left( (1-x^2) \frac{d}{dx} P_n(x) \right) + n(n+1) P_{n}(x) = 0</math>

Polynomen kan också genereras med de rekursiva relationerna

<math>P_0(x) = 1</math>

<math>P_1(x) = x</math>

<math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math>

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x², ... med avseende på den inre produkten i L² över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L²(-1,1):

<math>\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}</math>

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som bas för multipolutveckling av potentialen.

Explicit uttryck

<math>P_n(x)= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k=\sum_{k=0}^n {n\choose k} {-n-1\choose k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}</math>

Rodrigues formel

<math>P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -1)^n \right] </math>

Integralrepresentation

För alla <math>x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}</math> gäller

<math>P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right]^n \, \mathrm{d}\varphi.</math>

Se även

• Gegenbauerpolynom
• Jacobipolynom
• Klotytefunktion

Externa länkar

• Fil:Commons-logo.svg Wikimedia Commons har media som rör Legendrepolynom.
  Bilder & media