Komplexkonjugat

Fil:ComplexaTalplanet.png

Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal <math>\ z = a + b\,\mathrm i</math> betecknas med <math>\bar{z}</math> eller <math>z^*</math> och kan definieras som

<math>\bar{z} = \overline{a+b\,\mathrm i} = a - b\,\mathrm i\quad a,b\in \mathbb{R}</math>

Till exempel är

<math>\overline{2 + 3\,\mathrm i} = 2 - 3\,\mathrm i</math>

<math>\overline{5} = 5</math>

<math>\overline{\mathrm i} = -\mathrm i</math>

Egenskaper

För alla komplexa tal <math>z</math> och <math>w</math> gäller

<math>\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w}</math>

<math>\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w}</math>

<math>\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}</math> om <math>w\neq 0</math>

<math>\overline{z} = z \!\ </math> om och endast om <math>\ z</math> är reellt

<math>\left|\overline{z} \right| = \left| z \right|</math>

<math> \arg(\overline{z}) = -\arg(z)</math>

<math>{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}</math>

<math>z^{-1} = \frac{\overline{z}}{\ \left| z \right|^2}</math> om <math>z\neq 0</math>

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.